Родился в Вологодской губернии в зажиточной крестьянской семье. В 1882 переехал в Санкт-Петербург и работал приказчиком в меняльной лавке своего дяди. После смерти дяди меняльная лавка перешла к Александру, который преобразовал дело и превратил его в банкирскую контору. Имел чин действительного статского советника, с 1899 вместе с братом Павлом Евгеньевичем Бурцевым стал владельцем Торгового Дома «Бр. Бурцевы». Занимались покупкой и продажей процентных бумаг, содержали банковскую контору в Малом Гостином дворе, по Банковской линии № 6, позднее 6–7 (Чернышев пер.)
В истории русской культуры рубежа XIX–XX веков видное место занимают собиратели и меценаты, вышедшие из купеческой среды. У всех на слуху имена создателей крупных художественных коллекций – П. М. Третьякова, братьев М. А. и И. А. Морозовых, С. И. Щукина. У библиофилов тоже были свои Третьяковы, и Александр Евгеньевич Бурцев – один из них.
Бурцев начал собирать книги ещё в юношеские годы. Взяв себе за правило ежедневно заходить к знакомым букинистам, Бурцев сначала покупал у них собрания сочинений русских классиков, затем перешёл на первоиздания и, наконец, стал коллекционировать подлинные письма, автографы, старинные рукописи, картины со сценами русского быта. С 1892 по 1893 год путешествовал по русскому Северу, где изучал и записывал фольклорные предания.
С 1896 года начал издательскую деятельность, результатом которой стали более двухсот уникальных изданий: этнографические материалы, рукописи, описания редких книг и документов, собрания гравюр и акварелей и другое. Был редактором нескольких собственных альманахов и журналов: «Собиратель: художественно-библиографический журнал», «Мой журнал: для любителей искусства и старины», «Для немногих: художественный сборник, издаваемый А. Е. Бурцевым» и других.
Кроме того он покупал картины и рисунки. Среди его «поставщиков» были И. Е. Репин, Н. К. Рерих, С. Ю. Судейкин, К. С. Петров-Водкин, К. Сомов. Со временем собрание Бурцева так разрослось, что он задумал организовать Музей русского искусства и литературы, для чего выстроил на Бассейной, 10 (сейчас – улица Некрасова 10, архитектор –И. П. Володихин), специальный дом с большими выставочными залами. Однако ещё до создания музея Бурцев начал издавать описания своей коллекции. Человек увлекающийся, он и сюда привнёс купеческий размах. Отпечатанные на дорогой бумаге тиражом 100–150 экземпляров, оформленные «дорогими» художниками, «одетые» в дорогие переплёты, бурцевские каталоги поражали не только качеством исполнения, но и объёмом, так как нередко содержали не просто описания книг, гравюр, портретов и рукописей, а целиком перепечатанные тексты редкого издания или автографа.
В своих «библиографиях» Бурцев дважды полностью опубликовал радищевское «Путешествие из Петербурга в Москву». Вот почему его «Описание редких российских книг» издано в пяти томах, «Архив книжных и художественных редкостей» – в шести, а «Словарь редких книг и гравированных портретов» – в семи. Специалисты нередко называли Бурцева «библиофилом-графоманом». Между тем его издания, сыгравшие значительную роль в деле изучения и описания редкой русской книги и графики, со временем сами превратились в редкость.
В конце 1918 года все капиталы Александра Евгеньевича были аннулированы, особняк был национализирован. В период НЭПа, благодаря М. Горькому, Бурцев открыл книжную лавку, а в конце 1920-х стал сотрудником библиотеки при Педагогическом институте им. А. И. Герцена. Ещё в начале 1930-х годов в букинистических магазинах Ленинграда можно было встретить невзрачного, худо одетого человека – А. Е. Бурцева.
В 1935 году вместе с женой, дочерью и внучкой был выслан в Астрахань. 29 октября 1938 года Бурцев Александр Евгеньевич и Бурцева (Маркелова) Параскева Домиановна были арестованы и расстреляны. Реабилитированы в 1963 году.
Во время войны его дочь, Ольга Александровна, вывезла остатки собрания отца в эвакуацию, в Астрахань. В художественную галерею Астрахани в 1944 году были переданы хранившиеся в коллекции Бурцева письма Тургенева, Салтыкова-Щедрина, Достоевского, Гончарова, Чехова, Рубинштейна, Скрябина. В 1950-е годы литературовед И. Л. Андроников отправился в Актюбинск и приобрёл для Центрального государственного архива литературы и искусства всё, что сумела сохранить О. А. Бурцева, – 1 508 рукописей и документов, среди которых обнаружились не известные ранее автографы М. В. Ломоносова, Г. Р. Державина, Н. М. Карамзина, М. Ю. Лермонтова, Н. В. Гоголя, Ф. М. Достоевского, Л. Н. Толстого, А. П. Чехова, А. А. Блока, С. А. Есенина.
Некоторые фундаментальные издания Бурцева:
-
1897 – «Описание редких российских книг и рукописей» в 5 томах
-
1899 – «Дополнительное описание библиографическо-редких, художественно-замечательных книг и драгоценных рукописей» в 6 томах
-
1901 – «Обстоятельное библиографическое описание редких книг и художественных изданий» в 7 томах
-
1908 – «Полное собрание библиографических и палеографических материалов, изданных в разное время А. Е. Бурцевым» в 10 томах
-
1910–1911 – «Полное собрание этнографических трудов А. Е. Бурцева» в 11 томах
-
1912 – «Альбом из жизни русского раскола и старообрядчества»
-
1912–1914 – «Коллекция картин и рисунков старой и новой русской школы»
-
1912–1914 – «Женщина в картинах русских художников и в снимках с натуры»
-
1913 – «Галерея портретов царствующего дома Романовых, из собрания А. Е. Бурцева» 8 выпусков
-
1914 – «Жизнь русского народа, его нравы и обычаи в картинах русских художников и в снимках с натуры»